斐波那契数列之美

在《神奇的斐波那契数列》博文中，已经介绍过斐波那契数列和黄金分割比一些简单、优美的公式，其实还有很多。例如，如下的公式，在那篇博文就没有提到：

我们可以通过一系列连续的近似,来计算黄金分割比φ的值。实际上，还可以非常简单地递归定义一个“斐波那契比数列（the Fibonacci-ratio sequence）”（但不知是否有人这样做过），见附录。

时间表

在题为《Divine Proportion: Phi In Art, Nature, and Science（神圣比例：艺术、自然和科学中的Phi）》（参考资料[2]）一书中，普里亚•海门威（Priya Hemenway）声称：黄金分割比在艺术、自然和科学中的无数出现，千百年来一直是人们猜测和好奇的源泉。《神圣比例》一书利用科学来讲述Phi的故事，并探索它在不同地方的表现，如内耳的结构、飓风的螺旋、帕台农神庙的威严和“蒙娜丽莎”的难以捉摸的完美。书中有一个时间表：

菲迪亚斯（Phidias，公元前490-430年）制作的帕台农神像，似乎体现了黄金分割比。

柏拉图（Plato，公元前427-347年）在他的《提摩太书》中描述了五种可能的规则实体（柏拉图的实体：四面体、立方体、八面体、十二面体和二十面体），其中一些与黄金分割比有关。

欧几里德（Euclid，约公元前325年-约公元前265年）在他的《元素》一书中，给出了黄金比率的第一个有记载的定义，他称之为“极端和平均比率” 。

斐波那契（Fibonacci，1170-1250）在他的《Liber Abaci》中，提到了现在以他的名字命名的数字数列——Fibonacci数列，数列元素的比率逐渐接近黄金比率。

卢卡帕西奥利（Luca Pacioli，1445-1517）定义黄金分割比为“神圣的比例”。

迈克尔马斯特林（Michael Maestlin ，1550-1631）发表了第一个已知的近似黄金分割比的小数。

约翰内斯·开普勒（Johannes Kepler，1571–1630）证明了黄金分割比是连续斐波那契数之比的极限，并将黄金分割比描述为一颗“宝石”：“几何学有两大宝藏：一个是毕达哥拉斯定理，另一个是将一条线划分为极值和均值比率；第一个我们可以比作黄金量器，第二种是珍贵宝石，我们可以称之为珍贵的宝石”。

查尔斯·博内（Charles Bonnet，1720–1793）指出，在植物的螺旋叶序中，顺时针和逆时针方向，通常是两个连续的斐波那契数列中的数。

马丁·欧姆（Martin Ohm，1792–1872）在1835年，第一个用“goldener Schnitt（黄金分割）”来描述这一比率。

卢卡斯（édouard-Lucas，1842-1891）给出了现在称为斐波那契数列的数字序列现在的名称。

马克·巴尔（Mark Barr ，20世纪）提出用希腊字母phi（φ）（希腊雕塑家菲迪亚斯名字的首字母）表示是黄金分割比。

罗杰·彭罗斯（Roger Penrose，出生于1931年）于1974年发现了彭罗斯贴砖，这是一种与黄金分割比有关的图案，其两个菱形贴砖的面积比和图案内的相对频率都与黄金分割比有关。这反过来又导致了准晶的新发现。

在这个时间表中，最后一项是彭罗斯贴砖。

彭罗斯贴砖

1955年，爱因斯坦去世了，他不太相信黑洞的存在。差不多整整10年之后，1965年1月，33岁的英国数学物理学家罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）证明了黑洞是可以形成的，并且证明它是爱因斯坦广义相对论的有力预言。55年后，在2020年，由于这项开创性的工作，彭罗斯赢得了诺贝尔物理学奖。

罗杰·彭罗斯是当代的博学者，他在多个领域表现出多才多艺。在科学界以他的名字命名的理论，如彭罗斯不等式、量子力学的彭罗斯解释、多尔西-彭罗斯模型、彭罗斯形式主义、彭罗斯图、彭罗斯-霍金奇点定理等术语，充斥着数学和物理的各个领域，还有与艺术界有着千丝万缕联系的彭罗斯贴砖、彭罗斯立方体、彭罗斯楼梯和彭罗斯三角形等等。

我们这里只介绍彭罗斯贴砖。彭罗斯的贴砖有两种。其中一种是称为“风筝”和“飞镖”的一组贴砖（图1-B，由两个黄金三角形组成，从腰对腰）；另一种是由两个菱形组成的一组菱形贴砖（图1-C，由两个黄金三角形组成，从底边对底边，一个菱形的角度为36度和144度，另一个菱形的角度为72度和108度）。所有这些“风筝”、“飞镖”和“菱形”都是基于黄金分割比φ（图1-A）。

图1 “风筝”、“飞镖”和“菱形”都是基于黄金分割比

图2是在一个平面上铺贴砖的示例。图2-A和图2-B是利用“风筝”和“飞镖”，分别称为“星”和“太阳”配置，获得单点5次对称的非周期的平铺，“风筝”和“飞镖”的想的频率是黄金分割比。图2-C是利用两个菱形平铺，除了不寻常的对称性，彭罗斯贴砖揭示了十边形重叠的模式。图案中的每一块贴砖都包含在两种十边形中的一种中，当然，十边形族群的比率也是黄金分割比。图2-D是英国牛津大小数学研究所入口彭罗斯贴砖（局部），这个美丽的不重复的图案是为了纪念发现它的牛津大学教授，每一块瓷砖都用不锈钢圆弧装饰。

图2 彭罗斯贴砖平铺示例

图3是参考资料[2]给出的各种形式的彭罗斯贴砖。请注意五边形的大量出现。图4是彭罗斯站在彭罗斯贴砖地板上。

图3 各种形式的彭罗斯贴砖（参考资料[2]）

图4 彭罗斯和彭罗斯贴砖（参考资料[3]）

斐波那契数列和建筑

许多研究者研究或记录了黄金矩形或斐波那契矩形在建筑设计中的应用。他们认为，历史上许多著名的建筑师，无论是有意还是无意，在他们的作品中都采用了黄金矩形或斐波那契矩形。

也许最著名的展示黄金矩形的建筑是雅典卫城上的帕台农神庙（the Parthenon）。建造这座宏伟建筑的艺术理念来自菲迪亚斯（Phidias，公元前500-429年）。这座庙宇的目的是用来安放雅典娜女神的雕像。（黄金分割比φ的名称，来自菲迪亚斯名字的第一个字母）。在我们今天没有证据表明菲迪亚斯知道黄金分割比；我们只能从结构的形状来假设它。如图4所示，帕台农神庙完美地融入了一个黄金矩形。此外，在图中，许多黄金矩形建筑结构。如果对立柱上方的各种装饰物进行测量，则也会看到黄金分割比。 图4（右）显示了整个帕台农神庙的黄金分割比。 古代建筑师在多大程度上自觉使用了黄金矩形，在很大程度上仍是个谜。 有些人认为，现代人只是在寻找将黄金矩形，叠加在特定结构上的方法，尽管没人能否认它的存在。

图4 帕台农神庙

根据希腊历史学家希罗多德（Herodot，约公元前490-425年）的说法，吉萨的胡夫金字塔金字塔的建造方式是高度的平方等于一个侧面的面积。另外有人认为，完成于公元前2450年的吉萨大金字塔（图5），隐含着黄金三角形。根据测量，金字塔的底座为230.36米，半底座b为115.18米，高度h为146.64米，根据勾股定理，计算得三角形的斜边c为186.5米，因此，斜边与高度的比值为1.6195。与黄金分割比1.618的差异仅为0.09%。

图5 吉萨大金字塔

巴黎圣母院（图6）建于1163年至1250年间，它在许多关键的设计比例中似乎都有黄金分割比。圣母院的西立面有许多基于黄金分割比φ。例如：地面标高处基础的垂直高度到第一层顶部与第一层顶部第二层顶部之比，第二层底部垂直高度到第二层顶部与黄色第二层顶部到第三层顶部之比，左上部分外侧的水平宽度到右上部分内侧与黄右上部分内侧到右上部分外侧）之比，均接近于φ。法国巴黎圣母院大教堂的北玫瑰窗漂亮地展示了神圣的比例。

图6 巴黎圣母院

斐波那契数列和绘画

维特鲁维亚人（意大利语：Le Propozioni del corpo umano secondo Vitruvio，译为“根据维特鲁威的人体比例”），是列奥纳多·达·芬奇（1452-1519）1490年左右的一幅画。它附有基于建筑师维特鲁威的作品的注释。这幅画是用笔墨描绘了一个人在两个重叠的位置上，胳膊和腿分开，刻成一个圆和一个正方形。图画和文字有时被称为比例的标准。这幅画是基于古罗马建筑师维特鲁威在其著作《建筑》第三卷中描述的理想人体比例与几何的关系。维特鲁威将人类形象描述为古典建筑中比例的主要来源。维特鲁威认为理想的身体应该是八个头高。

这幅图像展示了文艺复兴时期数学与艺术的融合，也展示了莱昂纳多对比例的深刻理解。此外，这幅画代表了达•芬奇试图将人与自然联系起来的基石。达·芬奇的这幅画支持了帕西奥利对罗马建筑师维特鲁威（约公元前84年-公元前27年）的讨论，维特鲁威关于建筑的文件表明，他相信人体的比例是建筑的基础。在这张著名的图片（图7）中，正方形与圆半径的比值对应于黄金分割，偏差为1.7%。

图7 达•芬奇的《维特鲁维亚人》

西方文明中最著名的绘画，也许是列奥纳多·达·芬奇的《蒙娜丽莎》（图8），这幅画创作于1503年至1506年间，目前在巴黎卢浮宫博物馆展出。法国国王弗朗索瓦一世为这幅画付了15.3公斤黄金。专家和数学家认为，达芬奇的《蒙娜丽莎》是按照黄金分割比绘制的。图像的定位和构图符合斐波那契原理。蒙娜丽莎的多个区域使用黄金矩形。首先，你可以在蒙娜丽莎的脸上画一个矩形，然后发现这个矩形是一个黄金矩形。在这里，我们发现她的左眼在画中精确地居中，她的头发从画中的中心到画布的两侧大致以黄金分割线为界。我们还发现了她头顶和手臂、下巴和领口之间可能的黄金分割比。在图8（中）中，你会注意到几个三角形；最大的两个是金三角。此外，在图8（右）中，您将观察蒙娜丽莎身体上的特定点作为黄金分割。蒙娜丽莎在这幅画里有许多黄金矩形。通过在她的脸上画一个长方形，我们可以看到它确实是黄金矩形。如果我们用画在她眼睛上的线来划分这个矩形，我们就得到了另一个黄金矩形，也就是说她的头和眼睛的比例是黄金分割比。在她身体的其他部位还有其他的黄金矩形，比如从脖子到手的顶部。由于达芬奇在帕西奥利的《达迪维纳(Da divina)比例》一书中对黄金分割进行了详尽的论述，因此可以认为他是有意识地被这一宏伟的比例所引导的。

图8 达·芬奇的《蒙娜丽莎》

阿尔巴圣母像（The Alba Madonna）是1510年意大利文艺复兴时期艺术家拉斐尔（Raphael）的一幅色调画，描绘了典型的意大利乡村的玛丽、耶稣和施洗者约翰。在意大利呆了一个半世纪后，它一直被西班牙阿尔巴公爵收藏，直到1836年被卖给俄罗斯的尼古拉斯一世，成为圣彼得堡皇家隐士博物馆的亮点之一。1931年被苏联政府秘密卖给安德鲁·W·梅隆，自1937年以来一直由华盛顿特区的国家美术馆举办。

在图9中，常规五角星形叠加在拉斐尔的阿尔巴圣母像上方。 沿着适当的线性部分可以清楚地看到此几何形状。 这再次展示了拉斐尔（Raphael）对黄金分割的偏爱。

图9 拉斐尔的阿尔巴圣母像

不全是斐波那契

2017年，斯坦福大学教授基思·德夫林（Keith Devlin）出版了题为《Finding Fibonacci： The Quest to Rediscover the Forgotten Mathematical genius Who changed the World（寻找斐波那契：寻找被遗忘的改变世界的数学天才）》。德夫林说，正是斐波那契帮助西方复兴，成为科学、技术和商业的摇篮。此前，在2011年，他还出版过《数学家：斐波那契的算术革命(The Man of Numbers: Fibonacci's Arithmetic Revolution)》一书。

但是，德夫林认为斐波那契数列与艺术的关联是脆弱的。在一次接受访谈时，德夫林说，“当人们开始把斐波那契数列与人体、艺术和建筑建立联系时，就从脆弱变为彻头彻尾的虚构”。他还把这些错误信息大部分归因于1855年德国心理学家阿道夫·泽伊辛（Adolf Zeising）的一本书。泽伊辛声称，人体的比例是基于黄金分割比的。德夫林说，有关这一比例对人眼“独特愉悦”的总体说法，被毫无批评地说了出来，是错误的，经不起检验的。但不管是不是编造的。德夫林说，泽伊辛的理论非常流行，“相当于19世纪的莫扎特效应” 。他指的是听古典音乐可以提高智力的信念（参考资料[4]）。

据说，德夫林曾经询问了数百名学生他们最喜欢的矩形是什么。他向学生展示了矩形的集合，然后让他们挑选出他们最喜欢的一个，发现他们似乎随意挑选，而非都挑选最接近黄金矩形的矩形。德夫林的实验表明人们不是特别喜欢黄金分割比。伯克利哈斯商学院（Haas School of Business）也有一项研究发现，平均而言，消费者更喜欢1.414到1.732之间的矩形，该范围包含黄金矩形。

不能全盘否定黄金分割比在艺术、建筑和设计中的意义，但要避免随意挂钩。有人说，今天制造的许多商业产品在设计上都呈现出黄金矩形，包括火柴盒、打火机、书籍、信用卡和手提箱。然而，另一些人坚持认为，这些流行文化信仰中的一些是误解，因为，例如，信用卡的“长宽比被ISO/IEC 7810标准定义为85.60 mm x 53.98 mm，即1.5858:1的比率，这与黄金平均值相差2%。有人提出，财富500强企业和世界各大公司设计的标志和产品采用黄金分割，可想而知是为了满足消费者对审美和谐的内在偏好。例如，据说苹果利用黄金比例设计了自己的徽标和许多产品。还有人用下图证明苹果徽标基于斐波那契数列（又称黄金比例或神圣比例）：

图10 有人认为苹果徽标与斐波那契有关联

实际上，把苹果徽标与斐波那契建立关联有些牵强。标志性的苹果徽标是罗伯•詹诺夫（robjanoff）在1977年创造的。徽标本身已经改变了多年，放弃了彩虹色方案，颜色几经变化，但它仍然保留了詹诺夫最初的基本外形（图11）。对于有人把苹果徽标与计算机科学之父艾伦·图灵联系在一起（图灵是在吃了一个毒苹果后去世的），詹诺夫曾经明确给予否定，他也从没有说过徽标与斐波那契有什么关联。

图11 苹果徽标演变过程

结语

正如开普勒所指出的，黄金分割比是几何学的两个宝藏之一，是宝石。斐波那契数列和黄金分割比是美丽的。黄金分割比被用于设计中的范例，是彭罗斯贴砖。

马里奥·利维奥（Mario Livio）撰写过一本题为《黄金分割比（The Golden Ratio）》的引人入胜的书，讲述了艺术和建筑，植物学和生物学，物理学和数学，以及无数痴迷于φ的人的故事。该书的最后一章“Is GOD a mathematician（上帝是数学家吗）？”的最后一段说：“黄金分割比是人为创造的几何形状的产物。然而，人类并不知道这个产品将带领他们进入哪个神奇的仙境。如果根本没有发明几何学，那么我们可能永远不会知道黄金分割比。但是，谁知道呢？它可能会出现于一个简短计算机程序的输出中”（参考资料[5]）。

这“简短计算机程序”也许是人工智能程序——在我撰写这篇博文时，看到《自然》网站2021年2月3日报导，研究人员已经建立了一种人工智能（称为拉马努扬机器，以在二十世纪初对数学做出了重要贡献的数学家斯里尼瓦萨·拉马努扬命名），它可以生成新的数学公式，计算重要数学常数的数字，例如π或e，其中许多是无理数的（参考资料[6]）。

参考资料：

[1] Gary B. Meisner. The Golden Ratio：THE DIVINE BEAUTY OF MATHEMATICS. Race Point. 2018

[2] Hemenway, Priya. Divine Proportion: Phi In Art, Nature, and Science. New York: Sterling. 2005

[3] Arunabha Sengupta. Roger Penrose: Nobel Prize, physics, art and the Dutch connection.13 October 2020

https://www.utrechtcentral.com/columns/history/roger-penrose-nobel-prize-physics-art-and-the-dutch-connection-61729/

[4] JOHN BROWNLEE.The Golden Ratio: Design’s Biggest Myth.04-13-15。

https://www.fastcompany.com/3044877/the-golden-ratio-designs-biggest-myth

[5] Mario Livio. The Golden Ratio.Broadway Books.2008

[6] Davide Castelvecchi.AI maths whiz creates tough new problems for humans to solve.03FEBRUARY 2021.

https://www.nature.com/articles/d41586-021-00304-8

附录 斐波那契比数列

众所周知，斐波那契比数列（the Fibonacci sequence）定义如下：

现在，定义斐波那契比数列（the Fibonacci-ratio sequence）如下：

从定义，我们可以得到：

可以看出，这一系列的值，正好等于连续两个斐波那契数的比值。以下用数学归纳法证明一般公式：

【定理】

。

从定义已知，

，现在假设对于n=k时，

成立。当n=k+1有：

即，

也成立。证毕。

斐波那契比数列是有理数数列，而且：

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